Feidhm easpónantúil

An feidhm easpónantúil nádúrtha: $y=e^x$

Sa mhatamaitic, is é is feidhm easpónantúil ann ná feidhm ina bhfuil an athróg ina heaspónant, mar shampla, $5^x$. Feidhm easpónantúil thábhachtach is ea $y=e^x$ a bhfuil mar airí aici, $\frac{dy}{dx}=e^x$. Mar sin, tá ráta fáis $e^x$ i gcomhréir bheacht lena mhéid. De réir mar a fhásann $y$, is amhlaidh is mó a ráta fáis, agus tugtar fás easpónantúil nó scaoilte ar a leithéid. Ina fhoirm ghinearálta, $y=A{e}^{kx}$, samhlaíonn an slonn seo próisis fhisiciúla cosúil le dlíthe an fháis (k dearfach) is an mheata (k diúltach), díluchtú toilleora agus meath radaighníomhach. Is í seo an tsraith easpónantúil: $e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$ Is féidir na feidhmeanna triantánacha a shainmhíníu i dtéarmaí easpónant mar seo: $\sin x=\frac{1}{2}i(e^{ix}+e^{-ix})$, agus $\cos x=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$. Chruthaigh Euler an toradh suntasach $e^{i\pi }+1=0$.