Fáinne (matamaitic)

Sa mhatamaitic teibí, is fáinne é $(A,+,\cdot )$, eilimintí an tacar $A$ faoin oibríochtaí $+$ (suimiú) agus $\cdot$ (iolrú) má:

1. tá $(A,+)$ ina ghrúpa aibéalach,
2. tá $A$ iata faoi $\cdot$, is é sin $a\cdot b\in A$ do gach $a,b\in A$,
3. tá an oibríocht $\cdot$ comhthiomsaitheach thar $A$, is é sin $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ do gach $a,b,c\in A$,
4. tá an iolrú $\cdot$ dáileach thar an suimiú $+$, is é sin $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ agus $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$ do gach $a,b,c\in A$

Samplaí

Sampla amháin de fáinne is ea $(\mathbb{Z},+,\cdot ),$ na slánuimhreacha $\{\dots ,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$ faoi shuimiú agus iolrú. Is grúpa aibéalach é $(\mathbb{Z},+)$ Tá sé iata faoi $+$ mar tá suim dhá slánuimhreacha ina slánuimhir, agus tá sé iata faoi $\cdot$ mar tá toradh dhá slánuimhreacha ina slánuimhir. Agus is féidir argóid a dhéanamh go bhfuil an oibríocht $\cdot$ comhthiomsaitheach, agus go bhfuil an iolrú dáileach thar an suimiú.