Grúpa (matamaitic)

Is sórt grúpa é an Ciúb Rubik agus a himchastaí

Sa mhatamaitic, is réad bunúsach san ailgéabar teibí é an grúpa. Tá sé níos simplí ná an fáinne, ach tá níos mó chómhdhéanamh ann na atá sa tacar. Níl ach eilimintí i dtacar, ach tá eilimintí agus oibríocht (mar shampla an suimiú nó an iolrú) i ngrúpa.

Sainmhíniú

Is grúpa é $(G,\ast )$, tacar eilimintí $G$ faoin oibríocht $\ast$, má:

1. tá $G$ iata faoi $\ast$, is é sin $a\ast b\in G$ do gach $a,b\in G$;
2. tá an oibríocht $\ast$ comhthiomsaitheach thar $G$, is é sin $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c$ do gach $a,b,c\in G$;
3. tá eilimint céannachta $e\in G$ ionas gur $a\ast e=e\ast a=a$ do gach $a\in G$;
4. tá inbhéarta $a^{-1}$ ag gach $a\in G$, ionas gur $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$.

Má tá an oibríocht $\ast$ cómhalartach freisin, is é sin $a\ast b=b\ast a$ do gach $a,b\in G$, is grúpa aibéalach an grúpa.

Samplaí

Sampla amháin de ghrúpa is ea $(\mathbb{Z},+),$ na slánuimhreacha faoi shuimiú. Tá sé iata faoi $+$ mar tá suim dhá slánuimhreacha ina slánuimhir. Is é an uimhir $0$ an eilimint céannacht sa grúpa $(\mathbb{Z},+)$ mar tá $n+0=n$ do gach $n\in \mathbb{Z}$. Agus is é $-n$ an inbhéartha ag $n\in \mathbb{Z}$, mar tá $n+(-n)=0$. Agus tá an suimiú comhthiomsaitheach thar $\mathbb{Z}$.

Sampla eile is ea $(\{1,i,-1,-i\},\times )$ faoi iolrú, áit a bhfuil $i=\sqrt{-1}\in ℂ$ (na huimhreacha coimpléascacha). Is é $1$ an eilimint céannacht ann.

Sampla eile fós is ea na rothluithe thart ar chomhphointe, nuair is é $\ast$ rothlú amháin ar dtús is ansin rothlú eile. Déantar staidéar ar airíonna grúpaí le grúptheoiric.